> FocusUnimore > numero 7 – settembre 2020
Il FestivalFilosofia 2020, che si svolge dal al 2020, affronta il tema delle “Macchine”, un tema che a detta del suo direttore scientifico, Daniele Francesconi, riguarda “una grande questione della nostra epoca, quella delle tecnologie e il loro rapporto con il pensiero e l’etica”.
Su questo tema non poteva mancare il contributo dell’Università di Modena e Reggio Emilia, che, in questi anni, ha saputo dare vita ad un Laboratorio delle macchine matematiche (MMLab, www.mmlab.unimore.it), unico nel suo genere a livello internazionale.
Che cosa sono le macchine matematiche? Secondo la definizione proposta da Marcello Pergola, progettista e costruttore, nel testo di accompagnamento della mostra allestita a Modena nel 1992 “Una macchina matematica (in un contesto geometrico) ha come scopo fondamentale (indipendentemente dall’uso che poi si farà della macchina) risolvere questo problema: obbligare un punto, o un segmento, o una figura qualsiasi (sostenuti da un opportuno supporto materiale che li renda visibili) a muoversi nello spazio o a subire trasformazioni seguendo con esattezza una legge astrattamente, matematicamente determinata”.
Esse permettono di illustrare lo stretto rapporto, da sempre esistente, tra macchine, meccanica e matematica. La ricerca storica a partire dai trattati matematici dalla geometria greca in poi costituisce il riferimento per la loro costruzione, unitamente a testi di meccanica.
La vasta collezione di macchine matematiche del MMLab comprende artefatti di natura diversa:
• Curvigrafi, in grado di tracciare rette, coniche e altre curve.
• Sistemi articolati a due gradi di libertà (pantografi) che realizzano trasformazioni nel piano.
• Modelli tridimensionali che illustrano la teoria delle sezioni coniche come luoghi solidi.
• Modelli tridimensionali che illustrano proprietà di curve algebriche.
• Modelli tridimensionali che illustrano la genesi spaziale di alcune trasformazioni nel piano.
• Prospettografi che illustrano le tecniche di costruzione di immagini prospettiche o i teoremi che validano queste tecniche.
• Strumenti per la soluzione di problemi di varia natura (ad esempio, la trisezione dell’angolo, la duplicazione del cubo, la quadratura del cerchio, l’inserimento di due o più medi proporzionali tra due segmenti dati).
Le macchine matematiche incorporano aspetti pratici e teorici della matematica portando anche la voce dei matematici che le hanno ideate e descritte nei loro trattati. Riportiamo le parole di Koenigs nelle sue Lezioni di Cinematica (1897) a proposito dei sistemi articolati: “La teoria dei sistemi articolati si può far iniziare nel 1864. Senza dubbio, sistemi di questo tipo sono stati utilizzati anche assai prima: e può darsi che qualche appassionato e preciso indagatore li rintracci nella più remota antichità. Scopriremmo in tal caso che ogni epoca tiene, per dir così, tra le mani – ma senza averne coscienza – le invenzioni di epoche future: la storia delle cose anticipa spesso quella delle idee”.
La più nota macchina matematica è il compasso. Il compasso è utilizzato, fin dalla scuola primaria, per disegnare circonferenze. Ma esso consente anche di segnare punti che hanno distanza data da punti dati e, abbinato alla riga (o da solo come mostrò Lorenzo Mascheroni), determina l’insieme dei problemi risolubili nella geometria elementare. Il primo è un uso di natura empirica, che potrebbe essere sostituito dal ricalco del bordo di un bicchiere o di una maschera sagomata. Il secondo è un uso di natura teorica, che consente di demarcare in modo preciso il confine tra problemi possibili e problemi impossibili, a prescindere dalla possibilità di costruire empiricamente soluzioni approssimate per eventuali applicazioni pratiche.
Le macchine matematiche sono oggetti unici, per la loro progettazione e raffinata costruzione artigianale (in legno, ottone e plexiglass), perché nella maggior parte dei casi sono realizzate in una sola copia e perché sono tutti modelli funzionanti.
Si tratta dunque di un rilevante patrimonio museale per l’Università.
L’eleganza delle macchine le rende adatte ad essere esposte al pubblico, come beni culturali di natura scientifica, per contribuire alla diffusione delle idee e dei metodi della scienza.
Sin dal 1992 sono state allestite mostre in varie città, italiane ed estere: i cataloghi delle due principali mostre, Theatrum Machinarum e Perspectiva Artificialis sono disponibili sul sito del Laboratorio.
Le mostre hanno permesso di divulgare un modo di “far matematica” complementare più interattivo e coinvolgente rispetto a quello tradizionalmente offerto nella scuola, una matematica che si vede, che si tocca e che si colloca nella storia delle idee e degli uomini.
Con la partecipazione alla Notte bianca con la mostra sulla prospettiva, ma anche all’edizione 2017 del Festivalfilosofia e al Festival Passa la parola nel 2019, che ha dedicato attenzione alle macchine di Leonardo da Vinci, si è riscontrato concretamente il coinvolgimento di persone di tutte le età, offrendo la possibilità di usare alcuni modelli e, variando il discorso, di coglierne l’efficacia narrativa per bambini/e con riferimento ai matematici e alla storia e più tecnico-teorica per gli altri.
Il lungo percorso che ha portato alla costituzione della collezione di macchine matematiche di Unimore intreccia le pratiche didattiche degli insegnanti che per primi l’hanno intrapreso, l’interesse per la storia della matematica e la ricerca in didattica della matematica. Infatti, la costruzione delle macchine nasce dalle esigenze didattiche di insegnanti di scuola secondaria (i costruttori delle macchine facenti parte dell’Associazione Macchine Matematiche www.macchinematematiche.org) che incontrano l’interesse di ricerca dei ricercatori universitari.
Le macchine matematiche sono principalmente studiate come mediatori nella costruzione di significati matematici nella metodologia del laboratorio di matematica (fortemente sollecitato dalle attuali Indicazioni Nazionali) a diversi livelli scolastici, con numerose sperimentazioni didattiche condotte nelle classi.
Nel tempo, alle “macchine geometriche” si sono affiancate “macchine aritmetiche”, ampliando così l’iniziale definizione di “macchina matematica” ma mantenendo il legame con un particolare contenuto matematico e la manipolabilità che le caratterizza: un esempio è l’artefatto aritmetico Zero+1, chiamato ‘pascalina’ dai bambini a cui è stato proposto. È un artefatto commerciale che si presenta come un contatore e che consente di effettuare addizioni e sottrazioni con il cambio automatico e sarà presente nell’allestimento al Festivalfilosofia 2020. Un filone di ricerca avviato negli ultimi anni è quello dell’articolazione tra artefatti materiali e artefatti digitali (per la pascalina Zero+1, si è sviluppato nell’ambito di una collaborazione franco-italiana).
La ricchezza della collezione permette di creare diversi percorsi di visita, uniti a proposte di attività laboratoriali, per le scuole, le istituzioni educative e il grande pubblico. Dal 2003, nei suoi locali il Laboratorio accoglie studenti, soprattutto di scuola secondaria, provenienti da tutta Italia, proponendo percorsi didattici laboratoriali sulle trasformazioni geometriche, sulle sezioni coniche e sulla prospettiva (http://www.raiscuola.rai.it/articoli/coniche-e-conicografi/21530/default.aspx).
Le macchine matematiche sono conservate dal Laboratorio delle Macchine Matematiche, che si configura come Centro di ricerca in didattica della matematica e divulgazione scientifica del Dipartimento di Educazione e Scienze Umane (DESU). Sono raccolte in una sala presso il Dipartimento FIM e in un’altra sita in via Camatta 15 a Modena, aperta in occasione di particolari eventi. L’attuale responsabile è la Prof.ssa Michela Maschietto, succeduta alla Prof.ssa Maria G. Bartolini Bussi.
L’attività del Laboratorio ha sempre coniugato divulgazione e ricerca in didattica della matematica. Il Laboratorio ha nel tempo partecipato a vari progetti, a livello internazionale, nazionale e regionale, nell’ambito della ricerca in didattica della matematica (progetti PRIN), della formazione degli insegnanti sulla didattica laboratoriale (progetto MMLab-ER, 2008-2012), della produzione di risorse per la didattica.
Ha partecipato a diversi bandi di diffusione della cultura scientifica, mettendo in gioco i legami con il territorio. Ad esempio, il progetto La bottega rinascimentale nella scuola di oggi: storia, strumenti e laboratorio di matematica (bando DD 2216/2014, https://bottegamatematica.wordpress.com/), presentato congiuntamente all’Istituto Comprensivo “Marconi” di Castelfranco Emilia e alla scuola media “Ferraris” di Modena, ha permesso di coniugare diversi tipi di azioni che caratterizzano il Laboratorio: un laboratorio di falegnameria in cui gli studenti hanno studiato e riprodotto alcune macchine matematiche; la formazione degli insegnanti; l’implementazione di percorsi laboratoriali in classe e la condivisione delle risorse.
A parte i risultati della ricerca sulle potenzialità di mediazione delle macchine matematiche per la costruzione di significati matematici, le varie tipologie di attività del Laboratorio sono state presentate in occasione di diversi convegni internazionali, quali Premières Journées de Popularisation de Mathématiques (Orléans, 2012) e nel Topic Study Group 7 Popularization of mathematics del congresso ICME 13 (Amburgo, 2016).
Il legame stretto con la storia della matematica rende il Laboratorio e le sue attività interessanti anche per i ricercatori che non si occupano strettamente di didattica della matematica. Ne è testimonianza l’invito al workshop Mathematical Instruments between Material Artifacts and Ideal Machines: Their Scientific and Social Role before 1950 al prestigioso Istituto per la matematica a Oberwolfach, nel land del Baden-Württemberg in Germania (2017).
Macchine, meccanica e matematica al Festivalfilosofia 2020 (18-20 settembre)
Mostra: Viaggio storico tra gli strumenti per la geometria
Il percorso inizia con la matematica greca che aveva come riferimento gli Elementi di Euclide con i suoi strumenti, riga e compasso, e considera la meccanica separata dalla geometria: le soluzioni di problemi ottenute per via meccanica, come la trisezione dell’angolo, non rientrano nei canoni di razionalità della geometria.
Nel Quattrocento si fa strada la difesa delle arti meccaniche: la nascita della perspectiva artificialis e lo sviluppo dei prospettografi ne sono un esempio.
Con Descartes cade la diffidenza per la meccanica: le curve tracciate con moto continuo da meccanismi di vario tipo sono accettate nel discorso teorico. Le macchine sono intese come strumento concettuale per classificare le curve. Si arriva infine alla teoria dei sistemi articolati per tracciare curve e per le trasformazioni geometriche.
Mostra-laboratorio: Dai bastoncini di Nepero alla calcolatrice
La mostra-laboratorio propone un breve percorso sugli strumenti per il calcolo, che hanno accompagnato lo sviluppo delle attività umane, per mostrare la progressiva automazione del calcolo. I primi regoli per calcolare appaiono tra fine Cinquecento e inizio Seicento grazie all’ingegno di Galilei e Nepero.
Le calcolatrici meccaniche iniziarono a diffondersi in Europa verso la seconda metà del Seicento: Pascal mise a punto la Pascalina, che eseguiva addizioni e sottrazioni con il cambio automatico utilizzando una serie di ruote dentate.
Seguirono presto macchine calcolatrici che eseguivano tutte le operazioni aritmetiche. E poi così fino alle nostre calcolatrici e ai computer.
Sede: Modena, via Camatta 15.
Curatori: Michela Maschietto (MMLab), Marco Turrini (Associazione Macchine Matematiche)
Informazioni: www.mmlab.unimore.it